如何求等数列和等比数列的和呢？

扩展资料：

（乘上公比）再用错位相减法。

高考等比数列的求和题 高考等比数列的求和题目

高考等比数列的求和题 高考等比数列的求和题目

高考等比数列的求和题 高考等比数列的求和题目

形如An=BnCn，其中{Bn}为等数列，{Cn}为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫做错位相减法。

【典例】：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)·xn-1（x≠0，n∈N）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7xSn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)3+…+(2n-1)xn-1

∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn

两式相减得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn

每一项与它的前一项的等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等数列的公，公常用字母d表示。

一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等数列是“同构”的。

若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等，公为log以a为底q的对数。等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)。在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

参考资料来源故2N-1/2^N的前N项和=(2+2n)(n/2)-1+2^(-n)：

参考资料来源：

等比无穷级数求和公式

等比数列求和公式：

等比无穷级数是指一个数列中每一项与它前一项的比值都相等的级数，S=a1+a2+a3+a4+……+a30其求和公式为：

S = a / (1 - r)

其中，a为首项，r为公比，S为等比无穷级数的Sn=a1(1-q^n)/(1-q)和。

拓展相关知识

其次，等比级数在金融、工程、物理等领域中有广泛的应用。例如，复利计算中的本金和利息就是一个等比级数，其中本金为首项，利率为公比；在工程中，等比级数可以用来描述电路中的电压、电流等变化规律；在物理中，等比级数可以用来描述衰减、增长等现象。

等比数列求和公式是什么？

所以Sn<3/2

求和公式如奇数项，首项是a1,公比原来是q的话，想在就是q的平方，它的和为 a1（1-q的2n次方）/(1-q的平方）

故当n趋向于无穷时，等比数列求和公式中q的n次方趋于0（|q|<1），此时Sn=a1/(1-q)。

等比数列(又名几何数列):是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

求和公式推导：

（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

（4）a(n+1)=a1qn

（5）Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1)

等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；

推广式：an=am×q^(n-m)；

(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数）

(4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am×an=ap×aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2

(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".

(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

很高兴为您解答，祝你学习进步！

首项为a1，等比为q，则前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q);

首项是a1

公比是q且q≠1

则Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

若q=1首项为1，公比为1/3的等比数列求和则Sn=na1

等比数列求和公式推导 至少给出3种方法

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一般都是用错位相消

Sn=(a1-a1q^n)/(1-q)

qSn=a1q+a2q+a3q+...+anq

=a2+a3+a4+...+a(n+1)

Sn-qSn=a1-a(n+1)

(1-q)Sn=a1-a1q^n

Sn=(a1-a1q^n)/(1-q)

Sn=(a1-anq)/(1-q)

Sn=k(1-q^n)~y=k(1-a^x)

你好，过程如下

qSn=a1q+a2q+a3q+...+anq

=aS = a(q^(n+1) -1)/(q-1)2+a3+a4+...+a(n+1)

Sn-qSn=a1-a(n+1)

(1-q)Sn=a1-a1q^n

Sn=(a1-anq)/(1-q)

还有两种方法暂时 忘了，，我帮你想想。。

1.利用等比数列的通项公式，将其代入求和公式中，然后进行化简。

2.利用等比数列的性质，将其分解为一个等比数列和一个常数列，然后分别求和。

3.利用等比数列的性质，将其分解为一个首项为1的等比数列和一个常数列，然后分别求和。

这些方法都可以得到等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数

首项a1,公比q

a(n+1)=anq=a1q^(n

Sn=a1+a2+..+an

qSn=a2+a3+...+a(n+1)

qSn-Sn=a(n+1)-a1

S=a1(q^n-1)/(q-1)

希望你能满意！

首项a1,公比q

a(n+1)=anq=a1q^(n

Sn=a1+a2+..+an

qSn=a2+a3+...+a(n+1)

qSn-Sn=a(n+1)-a1

S=a1(q^n-1)/(q-1)

希望你能满意！

等比数列分之一的前n项和怎么求哦？

一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a_{n种：作法}}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等数列{a_n}，公为d，求证：{a_n}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an ①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和 对等数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n项和Sn解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成的结果即可。四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等数列相乘的形式。即若在数列{a_n·b_n}注意：上述公式中A^n表示A的n次方。中，{a_n}成等数列，{b_n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位首先，等比级数的收敛性与公比r的大小有关。当|r|<1时，等比级数收敛，当|r|≥1时，等比级数发散。这是因为当|r|<1时，级数的每一项都比前一项小，随着项数的增加，级数的和趋近于一个有限值；而当|r|≥1时，级数的每一项都比前一项大，随着项数的增加，级数的和趋近于无穷大。相减整理后即可以求出前n项和。例题4：求数列{naⁿ}(n∈N)的和解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1②①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = 若a ≠ 1则：点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3……n，是等数列；含有字母a的数列是：a,a2,a3,……，an,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等数列，可以直接运用公式求值；当a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。五.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{a_n}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之成等数列，求它的前n项和。解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1把各项相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12 + 22 + … + n2=因此问题就容易解决了。六.用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例题6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N)解：①当n是偶数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2]= - (1 + 2 + … + n) = - ②当n是奇数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2= -综上所述：S = (-1)n+1n(n+1)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。七.用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。例题7：求的和解：点拨：本题的关键在于如何构造出等或等比数列的特征的通项，在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化，使得数列的通项具备了等比数列的特征，从而为解题找到了突破口。

求数列{2n-1/2^n}的前n项和

此外，等比级数还有一些有趣的性质。例如，等比级数的前n项和可以表示为S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)，这个公式可以用来计算等比级数的前n项和；另外，等比级数的和与首项、公比无关，只与首项和公比的乘积有关，即S = a / (1 - r) = ar / (r - 1)。

an=2^n+2n-1

-1是常数

所以对an求前n项和，转变成对一个等数列，一个等比数列，一个（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。常数列相加的数列求和问题

等比数列前n项和s1=2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)

等数列前n项和s2=n(2+2n)/2=n(1+n)

所以an前n项和sn=2(2^n-1)+n(1+n)-n=2(2^n-1)+n^2

(2+2n)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。注：q=1时，an为常数列(n为下标）。(n/2),

1/2^N

,是等比数列,=(1/2)(1-(1/2)n)/(1-1/2)=1-2^(-n),

等比数列中奇数项和偶数项的和怎么求，有推论

等比数列求和啊

等比数列的奇数项构成的还是等比数列，偶数项也一样，可以用等比数列求和公式来做。

分成两部分,

例如奇数项，首项是a1，公比原来是q，和为 a1（1-q的2n次方）/（1-q的平方）

偶数项为a1q（1-q的2n次方）/（1-q的平方）

从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。

等比数列求通项方法

（1）待定系数法：已知an+1=2an+3，a1=1，求an？

构造等比数列an+1+x=2（an+x）

an+1=2an+x，∵an+1=2an+3 ∴x=3

∴（an+1+3）/ an+3=2

∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1×qn-1=4×2n-1,an=2n+1-3

（2）定义法：已知Sn=a·2n+b，求an的通项公式？

∵Sn=a·2n+b∴Sn-1=a·2n-1+b

∴an=Sn-Sn-1=a·2n-1 [2] 。

以上内容参考来源：

等比数列的奇数项构成的还是等比数列，偶数项也你！在家。在这样一个人面前就是一样，所有还是可以用等比数列求和公式来做。

而偶数项则为a1q（1-q的2n次方）/(1-q的平方）

它们可以分别看做是以a1、a2为首项，以q的平方为公比的等比数列，然后分别代等比数列的前n项和公式就行了。

高等数学中等比数列和的极限怎么算?

每一项与前一项的比值：4÷2=8÷4=16÷8=2，所以这个数列是等比数列，而它的公比就是2。

求和公式：

，任意两项

=(a1-anq)/(1-q)。

求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比qq大于1时等比级数发散。=1，则等比数列中每项都相等。

公式

bn等于sn分之一求tn

可以看出2^n是一个首项为2,公比为2的等比数列

先求an 令n=1，a1=s1=1； 当n>=2时，an=Sn-Sn-1=(n-2)^2-(n-3)^2（注a^b表示a的b次方） =2n-5 （注意，数列an不是一个等数列，首项不符合上面的通项公式，只是一个从第二项开始的等数列，平时通过Sn求an时要注意不要忘了首项的验证。） Tn=b1+b2+……bn （这是一个等数列和一个等比数列相乘求和的类似问题，一般用错位相减法，为了让你更好的理解错位相减法，我就=(a1-a1q^n)/(1-q)不用题中的数字直接代入了） 我们引进一个数列cn=(1/2)^n则cn是一个等比数列且bn=ancn Tn=a1c1+a2c2+a3c3+……+ancn 则1/2Tn=a1c2+a2c3+……an-1cn+ancn+1 （注意，这个Tn前面乘的系数是等比数列cn的公比，然后错位相减，中间的一部分可以凑成一个等比数列求和。） 两式相减得1/2Tn=a1c1+(a2-a1)c2+(a3-a2)c3+……+(an-an-1)cn-ancn+1 =1/2-2(1/2)^2+2(1/2)^3+……+2(1/2)^n-(2n-5)(1/2)^n+1 则Tn=1-1+2(1/2)^2+……+2(1/2)n-1-(2n-5)(1/2)^n=1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n =1-(2n-1)/2^n 这个题主要是要知道错位相减法。

（2）qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

数学题求解

等比数列通式若通项公式变形为an=a1/qq^n(n∈N),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qq^x上的一群孤立的点。（1）等比数列(Geometric Sequences)的通项公式是：an=a1×q^（n－1）【（a1≠0，q≠0）。】

根据题意可以列出式子：总存钱数=0.012^0+0.012^1+0.012^2+......+0.012^29

2n是首项为2，公为2的等数列

=0.01(2^0+2^1+2^2+......+2^29)(这后面是个以1为首项，2为公比的等比数列的前30项和）

（3）Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

=0.01[2^0(1-2^30)/(1-2)]

=0.01(2^30-1)

后面的就自己算吧！希望对你有帮助，望采纳O(∩_∩)O哈！

等比数列求和

公式推导

有一个数a，每过一天变为q倍，就变成aq，求n天之后，所有数的和

S = a+aq+aq^2+.......+aq^n

Sq = aq+aq^2+aq^3+.....+aq^(n+1)

Sq - S = (q-1)S = aq^(n+1) - a = a(q^(n+1)-1)

根据题目所给条件可以看出 a = 0.01 ，q =2 ， n是29天之后

S = 0.01(2^30 - 1)

表示存不起

a1=0.01,q=2,n=30

=0.01x(2^30 - 1)=10737418.24